计组期末总结系列1——数的表示
————————下面是一些开头的废话，可以不看————————
由于电脑坏了，又不能整天玩手机，舍友说计组不会，为了方便同学复习，同时总结一下整个学期学习的内容，所以决定写写一些重点的内容（虽然导论、C语言、电路都讲过三遍了，然而还是可以有人不会啊╮(╯▽╰)╭）。另，本人水平有限，如果文中有错误还请批评指正。
——————我是分割线，上面的废话可以不看，下面才是重点————————
在计算机中，所有的数字都是用二进制来表示的，为了理解记忆而不去记忆大量的公式，不得不从头好好思考二进制。
我们都知道在十进制中，以一个数字为例：1234.4321，想想这个数字的含义，如果什么都不说，我们都会默认这是一个十进制的数字。1234.4321 = 1234 +0.4321，可以分成两个部分来表示，也就是整数部分和小数部分。我们分别来看这两个部分。
1234 = 1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 * 1
= 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0
每一位代表着不同的意义，从右往左看
第0位的数字代表了有多少个1，也就是10^0
第1位的数字代表了有多少个10，也就是10^1
第2位的数字代表了有多少个100，也就是10^2
第3位的数字代表了有多少个1000，也就是10^3
以此类推
0.4321 = 4 * 0.1 + 3 * 0.01 + 2 * 0.001 + 1 * 0.0001
= 4 * 10^-1 + 3 * 10^-2 + 2 * 10^-3 + 1 * 10^-4
小数点后的部分，从左往右看
第0位的数字代表了有多少个0.1，也就是10^-1
第1位的数字代表了有多少个0.01，也就是10^-2
第2位的数字代表了有多少个0.001，也就是10^-3
第3位的数字代表了有多少个0.0001，也就是10^-4
上面所说的十进制代表了每位数字的权值都是10的幂次。
同理类推到二进制。
以1010.1001为例
1010.1001 = 1010 + 0.1001
整数部分，从右往左看
1010 = 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1
= 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0
第0位的数字代表了有多少个1，也就是2^0
第1位的数字代表了有多少个2，也就是2^1
第2位的数字代表了有多少个4，也就是2^2
第3位的数字代表了有多少个8，也就是2^3
小数点后的部分，从左往右看
0.1001 = 0.1 + 0.00 + 0.000 + 0.0001
=1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 1 * 2^-4
第0位的数字代表了有多少个0.5，也就是2^-1
第1位的数字代表了有多少个0.25，也就是2^-2
第2位的数字代表了有多少个0.125，也就是2^-3
第3位的数字代表了有多少个0.0625，也就是2^-4
八进制和十六进制同理。
进制之间的转换：
十进制 二进制 八进制 十六进制
如果你理解了上面所述的含义，那么转换也会非常容易理解。不同进制数字的含义最终都是为了表示数字，换句话说也就是一个数字可以以不同的方式表示出来。
十进制转二进制方法
以1234.4321为例进行说明。
整数部分的转换：
由于二进制每位的权值都是2的幂次，所以为了方便转化可以先写出几个算好的2幂次结果
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
寻找小于1234且尽可能大的数或者等于1234的位写1，如下表
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 |
用1234 – 1024 = 210
寻找小于210且尽可能大的数或者等于210的位继续写1，如下表
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 |
用210 – 128 = 82
寻找小于82且尽可能大的数或者等于82的位继续写1，如下表
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
用82 – 64 = 18
寻找小于18且尽可能大的数或者等于18的位继续写1，如下表
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
用18 – 16 = 2
寻找小于2且尽可能大的数或者等于2的位继续写1，如下表
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
最后，剩余位写0，结果就是转换成二进制的整数部分。
| 2^10 | 2^9 | 2^8 | 2^7 | 2^6 | 2^5 | 2^4 | 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
结果为 10011010010
小数部分0.4321，进行乘二取整。
0.4321 * 2 = 0.8642 整数部分为0
0.8642 * 2 = 1.7284 整数部分为1
0.7284 * 2 = 1.4568 整数部分为1
0.4568 * 2 = 0.9136 整数部分为0
0.9136 * 2 = 1.8272 整数部分为1
以此类推直到小数部分为零，把上面取到的整数部分从左到右排列即是二进制小数0.01101，注意，需要几位就算几次。
其他的转换：
二进制，八进制，十六进制之间都可以方便的进行转换，因为每三位二进制数字相当于八进制的一位数字，每四位相当于十六进制的一位数字。
定点整数的表示
首先，在计算机中所有的数字都是二进制储存的，但是，为了方便书写和节省位数一般用十六进制来表示，两位就能表示八位的二进制数字。
编码有三种，原码，反码，补码。接下来详细说明。为了方便观察，我们在能观察规律的情况下尽可能缩短长度来说明。
由于有正数和负数，所以需要一位标识位来区分是正数还是负数。先说原码，取字长位三位，其中第一位是符号位，0代表正1代表负，那么它可以表示的数字是这样的、
| 原码 | 真值 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -2 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -3 |
表中第一列是单纯作为二进制来看这三位数的十进制数字。原码的特点非常容易看出来，有两个0，一个是100一个是000，都是代表了0，表达的范围是对称的。计算方法也很好理解，由于只有2位可以用来表示数本身，所以可以表示的数范围就是0 ~(2^2)-1也就是0~3，算上负数的那部分也就是-3~+3，推广一下很容易得到范围的公式，-((2^n)-1)~+(2^n)-1，也就是1-2^n~2^n-1，其中的n是不算符号位在内的位数。
最大的正数是011，也就是3，
最小的正数是001，也就是1
最大的负数（绝对值最小的负数）是101，也就是-1
最小的负数（绝对值最大的负数）是111，也就是-3
接下来是反码，需要注意的是，正数的反码和原码一样，正数的反码和原码一样，正数的反码和原码一样，负数的反码就是把原码按位取反得到的，符号位不变。符号位不变。符号位不变。（重要的事情说三遍）效果如下表
| 反码 | 真值 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -0 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -2 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -3 |
显然，范围没变，但是对应关系有了一些变化，和原码表示相同的是，0依然有可以有2个编码来表示。
最后是补码，正数的补码和原码一样。正数的补码和原码一样。正数的补码和原码一样。负数的补码是在它的反码基础上再加1，这个加1的运算符号位要参与运算。这个加1的运算符号位要参与运算。这个加1的运算符号位要参与运算。效果如下。
| 补码 | 真值 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -2 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -3 |
结果会发现还有一个编码空着，就是100，所以规定用100表示-4，如下表
| 补码 | 真值 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -2 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -3 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -4 |
这样既可以多表示一个数字，扩大了表示范围，还统一了0的编码。并且用补码表示还有一个特点，仔细观察上面的表格，如果用111+001，结果将会是000，高位会直接溢出而消失。正好和-1+1 = 0吻合。所以计算机中都用二进制补码来表示数字。补码能表示的范围显然是-(2^2)~2^2-1，推广下就是-(2^n)~2^n-1，其中的n依然不包括符号位在内。
最大的正数是011，也就是3，
最小的正数是001，也就是1，
最大的负数（绝对值最小的负数）是111，也就是-1，到此为止和原码一样
最小的负数（绝对值最大的负数）是100，也就是-4，
注意：这个数字很特殊，真值不能直接求原码来算。可以由以下两种思路来理解。
第一种：按照原码中最小的负数再减1来计算。比如
三位的编码最小的负数用原码表示为111，是-3，那么这个数就代表的是-4
四位编码中最小的负数用原码表示为1111，是-7，那么1000就代表-8
第二种：按照一对儿相反数相加为0来考虑。
寻找一个和100相加为000的数，那么是一定是100，把这个100当成二进制编码来换成十进制，也就是4，那么补码100代表的就是-4
简化过程就可以直接把补码100当成二进制转换，结果再取反即可得到补码100的真值。
再比如补码1000，转成十进制就是8，那么它表示的真值就是8的相反数-8
注意总结上面的规律（前提条件是以补码表示）
最大的正数：
符号位一定是0，由于要求是最大，所以剩下的位数都是1即可，以8位编码为例，最大的正数就是0111 1111。可以按权值展开计算真值，但是这里有个小技巧，可以先把这个数加1,结果是1000 0000，然后转换，结果是2^7 = 128，之后再减1，也就是127。所以考试如果出现n位的话可以直接写出结果，也就是2^(n-1)-1。
最小的正数就不用说了，一定是1。
最大的负数（绝对值最小的负数）：
有几位就写几位1，以8位编码举例，就写8个1，也就是 1111 1111，真值以上面第二种思路来理解非常方便，结果是-1.
最小的负数（绝对值最大的负数）：
符号位一定是1，剩下几位写几个0。以8位编码为例，就写1000 0000，真值类比上面的思路来求，结果是-128。
这几个数在数轴上的位置如下图
接下来说说定点小数的表示。
在十进制中，表示的方法都很熟悉了，但是一定要仔细思考含义，才能理解二进制中定点小数的表示。
十进制中：把1个1分成10份，其中的一份就表示为0.1，如果分成100份，其中的一份就是0.01，如果分成1000份，其中的一份就是0.001
二进制中同理，把1个1分成2份，其中的一份就表示为0.1，如果分成4份，其中的一份就是0.01，如果分成8份，其中的一份就是0.001
注意虽然写出来一样，但是含义完全变了。
由于是小数，所以整数部分是0，延续定点整数的思路，把这位数当做符号标识，称为符号位。类比前面整数部分，依然可以有如下的三种表示方法，按顺序分别是原码，反码，补码。依然以3位编码为例。
| 原码 | 真值 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0.00 | 0.00 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0.25 | 2^-2 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0.50 | 2^-1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0.75 | (2^-1)+(2^-2) |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -0.00 | -0.00 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -0.25 | -2^-2 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -0.50 | -2^-1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -0.75 | -((2^-1)+(2^-2)) |
最大的正数是011，也就是0.75，
最小的正数是001，也就是0.25，
最大的负数（绝对值最小的负数）是101，也就是-0.25，
最小的负数（绝对值最大的负数）是111，也就是-0.75，
| 反码 | 真值 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0.00 | 0.00 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0.25 | 2^-2 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0.50 | 2^-1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0.75 | (2^-1)+(2^-2) |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -0.00 | -0.00 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -0.25 | -2^-2 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -0.50 | -2^-1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -0.75 | -((2^-1)+(2^-2)) |
| 补码 | 真值 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0.00 | 0.00 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0.25 | 2^-2 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0.50 | 2^-1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0.75 | (2^-1)+(2^-2) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | -0.00 | -0.00 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -0.25 | -2^-2 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -0.50 | -2^-1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -0.75 | -((2^-1)+(2^-2)) |
同理，补码空余出了一个编码就是100，所以规定用100来表示-1、用100来表示-1、用100来表示-1
| 补码 | 真值 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0.00 | 0.00 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0.25 | 2^-2 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0.50 | 2^-1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0.75 | (2^-1)+(2^-2) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | -0.00 | -0.00 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | -0.25 | -2^-2 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | -0.50 | -2^-1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | -0.75 | -((2^-1)+(2^-2)) |
| 4 | 1 | 0 | 0 | -1 | |
最大的正数是011，也就是0.75，
最小的正数是001，也就是0.25，
最大的负数（绝对值最小的负数）是111，也就是-0.25，到此为止和原码一样
最小的负数（绝对值最大的负数）是100，也就是-1，
注意：这个数字很特殊，真值不能直接求原码来算。
注意总结上面的规律（前提条件是以补码表示）
最大的正数：
符号位一定是0，由于要求是最大，所以剩下的位数都是1即可，以8位编码为例，最大的正数就是0111 1111。可以按权值展开计算真值，但是这里有个小技巧，可以先把这个数加0000 0001,结果是1000 0000，然后转换，结果是1，之后再减0000 0001，也就是1-2^-7。所以考试如果出现n位的话可以直接写出结果，也就是1-2^-n。其中的n不算符号位
最小的正数：
符号位一定是0，由于要求最小，所以把权值最小的最低位直接写1，以8位编码为例，结果是0000 0001，表示2^-7
最大的负数（绝对值最小的负数）：
符号位一定是1，剩下几位写几个1。以8位编码为例，就写1111 1111，真值类比上面的思路来求，结果是-(1-2^-7)。
最小的负数（绝对值最大的负数）：
符号位一定是1，剩下几位就写几个0，以8位编码为例，就是1000 0000，那么它一定是-1。
画张图更好理解这四个数字的位置。
最后是浮点数。
把定点整数和定点小数结合起来表示，就是浮点数。它的原理类似于科学计数法，比如1.5*10^50，那么只需要把1.5和50记下来，就能描述一个非常大的数字，同理也可以描述非常小的数字，指数部分就相当于记录了小数点的位置。所以仿照这个方法，也可以把一个数表示成0.8*2^30的形式，再记录下0.8和30两个部分来表示这个很大的数字，这就是浮点数的表示法。前面的部分称之为尾码，指数部分称之为阶码。尾码部分用上面的定点小数来表示，指数部分用定点整数来表示。阶码在前尾码在后，组合后的编码就是浮点数的编码。
浮点数的表示范围由于受尾码影响，所以和定点小数范围类似，但是又因为阶码的存在扩大了范围，所以在非常接近0的部分是无法表示的。可以看出，尾码的正负决定了整个浮点数的正负，阶码的大小决定了与0的距离。仔细思考这句话，你就能准确的找到浮点数的表示范围。要时刻记得阶码当成定点整数尾码当成定点小数。
下面以8位浮点数编码为例，规定前4位为阶码，1位符号位，后4位为尾码，1位符号位。均以补码表示
最大的正数：
要求阶码是最大的正数，
同时尾码也是最大的正数。
结果是0111 0111，
前4位当成定点整数求真值，为2^3-1 = 7
后4位当成定点小数求真值，为1-2^-3 = 0.875(注：如果幂次太高可以不算结果)，
所以最终表示的真值是0.875*2^7
最小的正数：
要求阶码为最小的负数（绝对值最大负数），
同时尾码为最小的正数。
结果是1000 0001，
前4位当成定点整数求真值，为-2^3 = -8
后4位当成定点小数求真值，为2^-3 = 0.125，
所以最终表示的真值是0.125*2^-8
最大的负数（绝对值最小的负数）：
要求阶码为最小的负数（绝对值最大负数），
同时尾码为最大的负数（绝对值最小负数）。
结果是1000 1111，
前4位当成定点整数求真值，为-2^3 = -8
后4位当成定点小数求真值，为-2^-3 =-0.125，
所以最终表示的真值是-0.125*2^-8
最小的负数（绝对值最大的负数）：
要求阶码为最大的正数，
同时尾码为最小的负数（绝对值最大负数）。
结果是0111 1000，
前4位当成定点整数求真值，为2^3-1 = 7
后4位当成定点小数求真值，为-1，所以最终表示的真值是-1*2^7
综上所述，浮点数的范围为-1*2^7~-0.125*2^-8 0.125*2^-8~0.875*2^7
但是为了提高运算精度，所以做了规格化（证明略），受影响的就是接近0左右两边的两个分界点。规格化后变化如下
最大负数（绝对值最小负数）变为1000 1011尾码变成了-((2^-1)-(2^-3)) = -0.375，结果是-0.375*2^-8
最小正数变为1000 0100 尾码变成了2^-1 = 0.5，结果是0.5*2^-8
所以规格后的范围是-1*2^7~-0.375*2^-8 0.5*2^-8~0.875*2^7
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